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Vidéo 8 : formule du binôme de Newton¶

Formule du binôme de Newton¶

Si \(n\) est un entier positif ou nul et \(a\) et \(b\) des nombres réels (ou complexes) alors

\(\boxed{\begin{align}(a+b)^n & =\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}a^kb^{n-k}\\ &= \sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}a^{n-k}b^k\end{align}}\)

Observer les points suivants :

dans chacune des deux formules, la somme des exposants vaut \(n\) : \(k+(n-k)=n\);
les sommes comportent \(n+1\) termes ;
la première somme fait porter l’exposant \(k\) sur le terme \(a\) et la seconde sur \(b\) ; selon les situations, vous choisirez une formule ou l’autre.

Pour calculer les coefficients binomiaux, soit on applique une des deux formules définissant le coefficient binomial, soit on utilise le tableau de Pascal.

Généralisation¶

La formule s’appelle la formule du binôme car on élève à la puissance une somme de deux termes. On peut généraliser la formule du binôme en élevant à la puissance \(n\) une somme de \(p\) termes :

\(\Par{\sum_{k=1}^{p}a_k}^n\)

et on obtient une formule analogue mais plus complexe qui s’appelle la formule multinomiale comportant des coefficients dits multinomiaux.

1. Développer par la formule du binôme¶

Vérifier que \((-2x+5)^5=-32x^5 + 400x^4 - 2000x^3 + 5000x^2 - 6250x + 3125\)