Le triangle de Pascal¶

La relation fondamentale :

\((1)\quad\ds\dbinom{n}{p}+\dbinom{n}{p+1}=\dbinom{n+1}{p+1}\)

permet de calculer les coefficients binomiaux de manière itérative. En effet si on connaît tous les coefficients \(\dbinom{n}{p}\), on pourra connaître tous les coefficients \(\dbinom{n}{p+1}\). En pratique, on place les coefficients dans un tableau avec les conventions suivantes :

• chaque ligne est indéxée par \(n\), à partir de \(n=0\)
• chaque colonne est indéxée par \(p\), à partir de \(p=0\)
• le coefficient \(\dbinom{n}{p}\) est placé à la ligne d’indice \(n\) et la colonne d’indice \(p\)
• les coefficients binomiaux nuls (correspondant aux indices \(p>n\) sont ignorés (ou sous-entendus)

En appliquant (1), et en référençant tous les coefficients indexés jusqu’à la ligne d’indice 7, on obtient le tableau suivant :

\(\begin{array}{cccccccc}1 & & & & & & & \\1 & 1 & & & & & & \\1 & 2 & 1 & & & & & \\1 & 3 & 3 &1 & & & & \\1 & 4 & 6 &4 & 1 & & & \\1 & 5 & 10 &10 & 5 & 1 & & \\1 & 6 & 15 &\boxed{20} & \boxed{15} & 6 &1 & \\1 & 7 & 21 &35 & \boxed{35} & 21 & 7 & 1\end{array}\)

Les observations suivantes correspondent à des relations établies lors de l’introduction des coefficients binomiaux :

• chaque terme autre que celui qui est dans le colonne de gauche est la somme de celui qui est juste au-dessus et juste au-dessus à gauche. Par exemple \(35=15+20\).
• chaque ligne est symétrique
• chaque commence par 1
• la ligne d’indice \(n\) commence par 1, \(n\).