Découpage d’une somme¶

Il est courant d’avoir à isoler certains termes d’une somme ou à regrouper des sommes de termes (« sommation par paquets »).

Le fait de pouvoir « découper » une somme signifie que si \(m,n,p\) sont des entiers tels que

\(n\leq m< p\)

alors

\(\ds\sum\limits_{k=n}^{p}x_k= \ds\sum\limits_{k=n}^{m}x_k+\ds\sum\limits_{k=m+1}^{p}x_k\)

ou, pour être un peu plus général, si \(I\) et \(J\) sont des ensembles finis et disjoints d’indices alors

\(\ds\sum\limits_{k\in I\cup J}^{}x_k=\ds\sum\limits_{k\in I}^{}x_k+\sum\limits_{k\in J}^{}x_k\)

[Remarquer que, comme une somme sur un ensemble vide d’indices est nulle, la formule ci-dessus s’applique aussi si un des ensembles \(I\) ou \(J\) est vide.]

Pour illustrer le découpage, isolons, par exemple, le premier et le dernier terme d’une somme :

\(\sum\limits_{i=1}^{n}x_i=x_1+\sum\limits_{i=2}^{n-1}x_i+x_{n}\)

De même, on peut séparer les termes d’indices impairs et le termes d’indices pairs :

\(\sum\limits_{i=1}^{n}x_i=\sum\limits_{1\leq 2k+1\leq n}x_{2k+1}+\sum\limits_{1\leq 2k\leq n}x_{2k}\)

Par un découpage pair/impair, on peut calculer la somme du type \(1-2+3-4+5\) ou plus généralement

\(\ds\sum\limits_{k=1}^{2p+1}(-1)^{k}k\)

Linéarité de la sommation¶

Il s’agit juste de traduire au moyen de \(\Sigma\) les propriétés immédiates suivantes :

\((x_1+y_1)+(x_2+y_2)\dots+(x_n+y_n)= (x_1+\dots+x_n)+(y_1+\dots+y_n)\)

\(a(x_1+x_2+\dots+x_n)= ax_1+ax_2+\dots+ax_n\)

ce qui donne

\(\sum_{i\in I}^{}(a x_i+b y_i)=a\sum_{i\in I}^{}x_i+ b\sum_{i\in I}^{}y_i\)

• L’égalité lue de la gauche vers la droite permet de découper une somme en deux sommes et de « sortir » des facteurs qui ne dépendent pas de l’indice de sommation.
• L’égalité lue de la droite vers la gauche permet de regrouper plusieurs sommes en une seule.

Attention ! à ne pas inventer de pseudo-règles. Par exemple, les quantités suivantes

\(\sum\limits_{i=1}^{n}a_i\times b_i\quad \Par{\sum\limits_{i=1}^{n}a_i}\times\Par{\sum\limits_{i=1}^{n}b_i}\)

n’ont aucune raison d’être toujours égales.

Changement d’indice dans une somme¶

Une somme peut se récrire en opérant un changement d’indice. La plupart du temps, c’est un simple décalage des indices. Voici un exemple typique d’utilisation. Cherchons à calculer :

\(S=\sum_{i=11}^{50}i^2\)

Soit le nouvel indice \(j=i-10\). Alors,

• lorsque \(i=11\) on a \(j=1\),
• lorsque \(i=50\) on a \(j=40\)

et comme \(i=j+10\), la somme se récrit

\(S=\sum_{i=11}^{50}i^2 =\sum_{j=1}^{40}(j+10)^2\)

(noter le changement d’indice) ce qui permettrait assez facilement de terminer le calcul de la somme.

En pratique, les changement d’indices sont de deux formes :

• une translation, comme \(j=i+2\)
• une symétrie, comme \(j=-i+2\)

Pour réaliser dans les faits un changement d’indice, on traduit tout ce qui dépend de l’ancien indice (disons \(i\)) dans le nouvel indice (disons \(j\)). Ce changement s’opère dans les TROIS endroits suivants de la somme :

• la borne en \(i\) du bas
• la borne en \(i\) du haut
• la quantité à sommer (qui dépend de \(i\)).

1. Somme des minimums¶

Si \(a\) et \(b\) sont deux réels, la notation \(\min(a,b)\) désigne le plus petit des deux réels \(a\) et \(b\). Soit \(n\in\n\) et soit la somme suivante :

\(S_n=\ds\sum_{k=n}^{3n}\min(k, 2n).\)

1. Calculer \(S_0\), \(S_1\) et \(S_2\).
2. 1. Calculer \(A_n=\ds\sum_{k=2n+1}^{3n}(2n)\) (indication : on trouvera \(A_n=2n^2\)).
   2. Calculer \(B_n=\ds\sum_{k=n}^{2n}k\) (indication : on pourra utiliser un changement d’indice ; on trouvera \(B_n=3n(n+1)/2\)).
3. 1. En déduire l’expression explicite de \(S_n\) (indication : découper la somme \(S_n\) suivant que l’indice \(k\) vérifie ou pas \(k\geq 2n\); on trouvera \(H_n=n(7n+3)/2\)).
   2. Vérifier la justesse de votre résultat en recalculant \(S_0\), \(S_1\) et \(S_2\).

2. Identité remarquable¶

On donne \(S=\ds\sum_{j=1}^{42}j^2= 25585\) et on n’est pas censé connaître \(T=\ds\sum_{j=1}^{42}j\).

1. Trouver la valeur de la somme \(U=\ds\sum_{j=1}^{42}(j^2-2j+1)\).
2. En déduire la valeur de \(T\).