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Vidéo 3 : indice d’une somme¶

Indice muet¶

La somme

\(S=\sum_{k=1}^{10} (2k-1)\)

est une constante qui NE dépend PAS de \(k\). La lettre \(k\) sert juste à exprimer la quantité variable lorsque l’on somme. D’ailleurs, la somme vaut 100 :

\(S=1+3+5+\cdots+19=100\)

et donc elle ne dépend pas de \(k\).

On dit que \(k\) est une lettre muette ou une variable muette et on peut remplacer \(k\) par n’importe quelle lettre non déjà utilisée, par exemple ici \(j\) :

\(\sum_{k=1}^{10} k=\sum_{j=1}^{10} j\)

En revanche, si \(n\geq 0\) est un entier donné, la somme

\(\sum_{k=1}^n k=1+2+\dots+n\)

dépend de la valeur de \(n\) puisqu’on obtient des valeurs différentes selon que \(n\) vaut par exemple 2 ou 5. Donc on peut noter cette somme \(S_n\).

Si au cours d’un calcul, vous vous retrouvez avec une somme qui dépend d’un indice de sommation, c’est que vous avez fait une erreur quelque part. Par exemple, si vous arrivez à

\(\sum\limits_{n=1}^{p}n=\frac{n(n+1)}{2}\)

votre résultat est absurde puisque votre réponse dépend de \(n\) qui est l’indice de la somme (et qui n’a pas d’autre existence en dehors de permettre le calcul de la somme).

Somme d’une expression constante¶

On peut se demander ce que vaut la somme

\(S=\sum\limits_{i=5}^{14}42\)

Si on applique la définition, on a

\(S=42+42+\dots+42\)

et la somme contient \(14-5+1=10\) termes donc \(S=420\).

Il semble curieux ici de ne pas avoir remplacé \(i\) dans une expression mais c’est ce que l’on fait si on écrit que \(42=0\times i+42\) et donc

\(S=(0\times 5+42)+(0\times 1+42)+\dots+ (0\times 14+42)\)

ce qui est bien la même quantité.

Plus formellement, si \(C\) est une constante et si \(I\) est un ensemble formé de \(N\) indices distincts, on a \(\sum\limits_{i\in I}C=N\times C\).

Nombre de termes dans une somme¶

Les éléments qu’on additionne quand on fait une somme s’appellent les termes de la somme. Dans la somme \(\sum\limits_{k=1}^n x_k\) le nombre de termes est clairement \(n\).

Plus généralement, si \(i\) et \(j\) sont des indices tels que \(i\leq j\) alors la somme \(\sum\limits_{k=i}^j x_k\) comporte \(j-i+1\) termes (attention au \(+1\) : un voyage en \(n+1\) étapes emprunte \(n\) routes).

1. Somme d’une expression constante¶

Soit \(n\in\n\).

1. Calculer \(\ds A_n=\sum_{k=0}^n81\).
2. Calculer \(\ds A=\sum_{n=1}^5A_n\).
Calculer \(C_n=\ds\sum_{i=-n}^{n+2}(3n+2)\).

2. Somme d’une expression constante avec indices négatifs¶

Soit \(n\in\n\).

Calculer \(\ds B_n=\sum_{k=-n}^nn\).
Calculer \(\ds B=\sum_{n=1}^5 \Par{\sum_{k=-n}^nn}\).