Vidéo 5 : deux formules importantes¶
Sommes des termes d’une suite géométrique¶
Il n’y qu’une seule version à retenir et à bien retenir :
\(\boxed{(\star)\quad1+x+x^2+\dots+x^N=\sum_{k=0}^{N}x^k=\begin{cases}\ds\frac{x^{N+1}-1}{x-1} & \textrm{ si } x\neq 1\\ N+1 & \textrm{ sinon }\end{cases}}\)
Ici, \(N\) désigne un entier positif ou nul. La formule « générale » suppose que la raison \(x\) est différente de 1 (le dénominateur s’annulerait sinon).
Bien noter les points suivants :
- il y a deux cas selon que \(x\) vaut 1 ou pas ;
- le dénominateur qui s’annule si \(x=1\)
- la quantité \(N+1\) qui intervient dans les deux cas est le nombre de termes de la somme ;
- le premier terme à gauche est toujours 1.
De nombreuses situations se ramènent à \((\star)\). Par exemple, si
\(S=\sum\limits_{k=3}^{13}x^k\)
et en supposant \(x\neq 1\) alors \(S\) peut se récrire de l’une des deux façons suivantes:
- le plus simple, en factorisant \(S=x^{3}\sum\limits_{k=3}^{13}x^{k-3}=x^{3}\sum\limits_{j=0}^{10}x^{j}=x^3\frac{x^{11}-1}{x-1}\)
- en additionnant et retranchant : \(S=B-A\) où \(A=\sum\limits_{k=0}^{13}x^k\text{ et } B=\sum\limits_{k=0}^{2}x^k\) et \(A\) et \(B\) peuvent se calculer avec la formule \((\star)\).
Conséquence¶
En faisant le produit en croix dans la formule \((\star)\) et en posant \(x=\frac ab\), on obtient la factorisation suivante, valable quels que soient \(a\) et \(b\) :
\(\boxed{a^n-b^n=(a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^kb^{n-1-k}}\)
Dans la somme, on remarquera que :
- le nombre de termes est l’exposant \(n\)
- la somme des exposants de \(a\) et de \(b\) sous le signe \(\Sigma\) vaut toujours \(n-1\).
Cas particulier¶
En changeant \(b\) en \(-b\) et en supposant \(n=2m+1\) impair, on obtient l’identité suivante :
\(\boxed{a^{2m+1}+b^{2m+1}=(a+b)(a^{2m}-a^{2m-1}b+\dots+ b^m)}\)
Par exemple, \(\boxed{a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)}\), résultat qu’un matheux doit connaître.
Observer les points suivants :
- cette formule ne permet pas de factoriser des expression de la forme \(a^4+b^4\) car l’exposant doit être impair ;
- entre les parenthèses du 2ème facteur de droite, les termes alternent de signe, en terminant par un plus.
Somme des puissances d’entiers consécutifs¶
Il s’agit de formules permettant le calcul de \(1^p+2^p+\dots+n^p\). On s’intéresse uniquement aux cas \(p=1, 2, 3\), utiles en pratique.
\(\begin{align}S_1&=\sum\limits_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}\\S_2&=\sum\limits_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\\S_3&=\sum\limits_{k=1}^{n}k^3=\Par{\frac{n(n+1)}{2}}^2\end{align}\)
Ces sommes se découvrent assez facilement par une technique de télescopage par décalage d’indice.
Dans une optique de mémorisation, on observera que :
- la somme \(S_1\) à la même valeur que si les \(n\) termes de la somme valaient tous la moyenne \(m=\ds\frac{n+1}{2}\) entre le dernier \(n\) et le premier \(1\) ;
- la somme \(S_3\) est \(S_1^2\) ;
- le numérateur de la somme \(S_2\) commence comme \(S_1\). Pour être sûr de la formule, remplacer \(n\) par 1 et on doit obtenir \(1^2=1\).
1. Géométrique et arithmétique¶
Calculer la somme \(S_n=\ds\sum_{k=n}^{2n}(2^k-2k)\).
2. Somme géométrique¶
Soit
\(S=\frac{1}{2^{10}}+\frac{1}{2^{20}}+\frac{1}{2^{30}}+\dots+\frac{1}{2^{1000}}\)
(les exposants vont de 10 en 10).
- Exprimer \(S\) à l’aide du symbole \(\Sigma\).
- Calculer \(S\) (On trouvera \(S=\ds\frac{2^{1000}-1}{2^{1000}(2^{10}-1)}\)).