La somme \(1+2+3+\dots+n\)¶

Soit \(n\in\n\mens{0}\). On peut considérer la somme

\(S_n=\sum_{k=1}^{n}k=1+2+3+\dots+n\)

Il s’agit donc de la somme des \(n\) premiers entiers strictement positifs. A priori, il n’est pas acquis que \(S_n\) puisse se simplifier en une formule simple. Pourtant, on peut réduire \(S_n\) avec la formule suivante :

\(\boxed{\sum_{k=1}^{n}=\ds\frac{n(n+1)}{2}}\)

Cette formule peut s’établir de nombreuses façons. Elle a contribué à la légende du mathématicien Gauss qui aurait découvert et appliqué cette formule au cas \(n=100\) alors qu’il était encore à l’école primaire, comme c’est raconté dans sa biographie.

On peut en établir la preuve par récurrence sur \(n\) mais cette preuve n’explique pas l’origine de la formule.

Une autre façon de faire est la suivante :

\(\begin{array} {rcccccccccccc}S_n&=&1 &+&2&+& 3&+&\dots&+&(n-1)&+&n\\S_n&=&n &+&(n-1)&+& (n-2)&+&\dots&+&2&+&1\\\hline\\2S_n&=&(n+1) &+&(n+1)&+& (n+1)&+&\dots&+&(n+1)&+&(n+1)\\2S_n&=&n(n+1) &&&& &&&&&&\\S_n&=&\displaystyle\frac{n(n+1)}2 &&&& &&&&&&\\\end{array}\)

Commentaires

• On écrit \(S_n\) termes à termes, puis en-dessous, on écrit \(S_n\) termes à termes mais en commençant par la fin.
• On constate alors que la somme de deux termes l’un en-dessous de l’autre est constante et égale à \(n+1\).
• Que la somme soit constante est justifiée par le fait que les termes dans la première somme augmentent de 1 tandis que dans la 2e somme, les termes diminuent de 1 d’où compensation quand on les additionne.
• Enfin, à l’avant-dernière ligne et à la précédente, la somme dans le membre de droite contient \(n\) termes, d’où la valeur \(n(n+1)\).