Découverte de la notion de somme¶

\(\Sigma\) est une lettre grecque majuscule, équivalente à notre S. Le symbole \(\Sigma\) est une notation utilisée pour désigner des sommes mathématiques.

Soit la quantité suivante

\(S=\sum_{i=4}^8(10 i+2)\)

Alors, cette notation doit se comprendre de la manière suivante : \(S\) vaut la somme de tous les nombres de la forme

\(10 i+2\)

lorsque l’indice \(i\) prend toute les valeurs entières entre 4 et 8, ces deux valeurs étant incluses.

Le calcul donne que \(S=310\). Le tableau suivant montre comment calculer \(S\) :

Importance des sommes en mathématiques¶

Les sommes sont omniprésentes en mathématiques, elles interviennent massivement dans les questions ou les domaines suivants :

• calcul intégral
• probabilités, statistiques
• calcul matriciel
• calcul polynomial
• espaces munis d’un produit scalaire
• séries numériques.

Ainsi, l’écriture d’un entier \(N\) en base 10, ayant \(n\) chiffres, disons :

\(c_0, c_1, \dots, c_{n-2}, c_{n-1}\)

(en commençant par le chiffres des unités), n’est autre que la somme suivante :

\(N=\sum_{k=0}^{n-1}c_k10^k\)

Définition formelle d’une somme¶

Soit une suite \((x_k)_k\) de nombres réels ou complexes définie entre deux indices fixés \(i\) et \(j\) tels que \(i\leq j\).

Alors, par définition,

\(\sum_{k=i}^jx_k=x_i+x_{i+1}+x_{i+2}+\dots+x_j\)

Variante de notation :

\(\sum_{i\leq k\leq j}x_k=x_i+x_{i+1}+\dots+x_{j}\)

et plus généralement, si on a \(p\) indices deux à deux distincts \(i_1, i_2, \dots, i_p\) dans \(\ens{i,\dots,j}\) et si on pose \(K=\ens{i_1, i_2, \dots, i_p}\) alors on peut définir

\(S=\sum_{k \in K} x_k=x_{i_1}+x_{i_2}+\dots+x_{i_p}\)

et si \(K\) est vide, on convient que \(S=0\).

Remarque. J’éviterai de définir une somme \(S=\ds\sum_{k=j}^ix_k\) où on aurait \(i<j\) car ce serait ambigu à cause de deux interprétations incompatibles suivantes :

• une somme ne dépendant pas de l’ordre des termes, on aurait \(S=\ds\sum_{k=i}^jx_k\)
• les indices de la somme parcourraient l’ensemble \(\ens{k \pv j\leq k\leq i}\) qui est l’ensemble vide et donc \(S=0\)

Déployer une somme¶

Quand je parlerai de déployer une somme cela signifiera qu’on récrit une somme initialement présentée avec le symbole sigma \(\sum\limits_{k=1}^nx_k\) sous sa forme sans sigma

\(x_1+x_2+\dots+x_n\)

Lorsque

• les techniques de transformations de sommes ne sont pas bien comprises,
• le formalisme devient inutilement compliqué,

il est plus simple ou plus productif de revenir à la définition d’une somme avec des points de suspension.

Somme vide¶

On convient qu’une somme sur un ensemble vide d’indices vaut 0.

Extensions de la définition¶

Dans les exemples précédents, les indices des termes sommés prennent toutes les valeurs entières entre deux bornes mais il est possible de restreindre la somme à des indices vérifiant une condition. Par exemple, la notation

\(\sum\limits_{\substack{i=0 \\ i\textrm{ pair} }}^5(10 \times i+2)\)

désigne la somme \(2+22+42\) où l’indice ne prend que les valeurs paires entre 0 et 5, à savoir 0, 2 ou 4.

Autre exemple. La somme

\(S=\sum\limits_{0\leq 2k+1\leq 10}k^2\)

est effectuée pour tous les indices \(k\) entiers tels que \(0\leq 2k+1\leq 10\) autrement dit pour \(k=0,\dots, 4\) en sorte que \(S=0^2+1^2+2^2+3^2+4^2=0+1+4+9+16=30\).

1. Traduire avec sigma¶

Exprimer à l’aide du symbole \(\Sigma\) la quantité suivante

\(\frac{x_1}{x_n}+\frac{x_2}{x_{n-1}}+...+\frac{x_{n-1}}{x_{2}}+\frac{x_n}{x_{1}}\)

2. Traduire avec le symbole sigma¶

Ecrire à l’aide du symbole \(\Sigma\) la somme \(S_n=n+(n+1)+(n+2)+\cdots+(2n-1)+2n\) (deux réponses sont possibles).