\(\newcommand{\ds}{\displaystyle}\) \(\newcommand{\Frac}{\ds\frac}\) \(\renewcommand{\r}{\mathbb{ R}}\) \(\newcommand{\C}{\mathbb{ C}}\) \(\newcommand{\n}{\mathbb{ N}}\) \(\newcommand{\z}{\mathbb{ Z}}\) \(\newcommand{\Q}{\mathbb{ Q}}\) \(\newcommand{\N}{\mathbb{ N}}\) \(\newcommand{\n}{\mathbb{ N}}\) \(\newcommand{\ol}{\overline}\) \(\newcommand{\abs}[1]{\left| \,{#1} \right|}\) \(\newcommand{\pv}{\;;\;}\) \(\newcommand{\ens}[1]{\left\{ {#1} \right\}}\) \(\newcommand{\mens}[1]{\setminus\left\{ {#1} \right\}}\) \(\newcommand{\Par}[1]{\left({#1}\right)}\)

Vidéo 11 : exercices sommes doubles¶

1. Somme double par déploiement¶

Calculer la somme suivante

\(\ds\sum_{j=3}^{n}\sum_{k=j}^{j+3}(10j+k)\)

2. Somme emboîtée par deux méthodes¶

On se propose de calculer de deux manières différentes la somme

\(S_n=\sum_{k=1}^{n}k2^k.\)

Les questions 1, 2 et 3 sont indépendantes.

Calculer \(S_5\).
On définit les polynômes \(P(x)=\sum_{k=0}^{n}x^k\) et \(Q(x)=xP\,'(x)\).
1. Vérifier que \(S_n=Q(2)\).
2. Pour \(x\neq 1\), transformer \(P(x)\) puis en déduire un expression de \(Q(x)\) sous forme de fraction.
3. Montrer que \(S_n=(n-1)2^{n+1}+2\).
4. Retrouver \(S_5\).
1. En récrivant à l’aide du symbole sigma \(k2^k\) comme une somme de termes valant \(2^k\), montrer que
  
  \(S_n=\sum_{j=1}^{n}\sum_{k=j}^{n}2^k\)
2. Retrouver le résultat précédent en faisant une visualisation en deux dimensions de la somme \(S_n\). Pour cela, on pensera \(k2^k\) comme valant la somme de \(k\) termes suivante :
  
  \(k2^k=2^k+2^k+\dots+2^k\quad(k\text{ termes})\)
3. Calculer la somme \(T(n, j) = \sum_{k=j}^{n}2^k\) où \(j\geq 0\) est un entier fixé.
4. En déduire que
\(S_n=(n-1)2^{n+1}+2.\)