Vidéo 10 : sommes doubles¶
Sommes emboîtées¶
Soit par exemple à calculer la somme suivante :
\(\begin{align}S = & 1 +\\ & 1 + 2+\\ & 1 + 2+3+\\ & \dots \\ & 1 + 2+\dots+9+10\end{align}\)
On effectue une somme dont les termes sont eux-mêmes une somme. Le \(k\)-ème terme de la somme S est la somme \(S_k=\sum\limits_{j=1}^{k}j\) et donc :
\(S=\sum_{k=1}^{10}S_k=\sum_{k=1}^{10}\sum_{j=1}^{k}j\)
On a obtenu une somme emboîtée (je dirai aussi double somme).
Théorème de Fubini¶
Considérons une suite réelle \(a_{i,j}\) qui dépend deux indices \(i\) et \(j\), par exemple \(10i+j\) et où l’indice \(i\) varie entre, par exemple, 1 et \(n\) et l’indice \(j\) entre 1 et \(p\). Alors, le théorème de Fubini dit que
\(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{p}a_{i,j}=\sum_{j=1}^{p}\sum_{i=1}^{n}a_{i,j}\)
autrement dit, on peut intervertir l’ordre des sommations.
La grille ci-dessous
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline a_{1,1}& a_{1,2}&a_{1,3}&\cdots&a_{1,p}\\ \hline a_{2,1}& a_{2,2}&a_{2,3}&\cdots&a_{2,p}\\ \hline \vdots& \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\\hline a_{n-1,1}& a_{n-1,2}&a_{n-1,3}&\cdots&a_{n-1,p}\\ \hline a_{n,1}& a_{n,2}&a_{n,3}&\cdots&a_{n,p}\\ \hline \end{array}\)
explique pourquoi on peut faire cette interversion. Dans ce tableau, on a placé à la ligne \(i\) et à la colonne \(j\) le terme \(a_{i,j}\). Pour chaque \(i\in\ens{1,\dots,n}\), la somme \(\sum\limits_{j=1}^{p}a_{i,j}\) est la somme de tous les termes de la ligne d’indice \(i\). Et donc \(\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{p}a_{i,j}\) représente finalement la somme de tous les éléments de la grille.
De même, pour chaque \(j\in\ens{1,\dots,p}\), la somme \(\sum\limits_{i=1}^{n}a_{i,j}\) est la somme de tous les termes de la colonne d’indice \(j\). Et donc \(\sum\limits_{j=1}^{p}\sum\limits_{i=1}^{n}a_{i,j}\) représente aussi la somme de tous les éléments du tableau, d’où l’égalité du théorème.
Interversion plus générale¶
Soit la somme
\(S=\sum_{k=1}^{10}\sum_{j=1}^{k}j\)
que l’on peut déployer en
\(\begin{align}(\star)\quad\quad S = & 1 +\\ & 1 + 2+\\ & 1 + 2+3+\\ & \dots \\ & 1 + 2+\dots+9+10\end{align}\)
Tous calculs faits, on obtient que \(S=220\).
Cela n’aurait pas de sens d’appliquer le théorème de Fubini car l’interversion donnerait
\(S=\sum_{j=1}^{k}\sum_{k=1}^{10}j\)
et la somme dépendrait d’un mystérieux indice \(k\).
Toutefois, on peut encore appliquer une interversion des signes somme. En effet, visualisons la somme à calculer à partir du déploiement triangulaire \((\star)\) que je rappelle ci-après :
\(\begin{align}(\star)\quad\quad S = & 1 +\\ & 1 + 2+\\ & 1 + 2+3+\\ & \dots \\ & 1 + 2+\dots+9+10\end{align}\)
A priori, obtenir \(S\) revient à calculer d’abord des sommes suivants les lignes puis à additionner les sommes obtenues. Mais vue la forme des colonnes dans le triangle (les colonnes sont constantes), il est avantageux de faire une somme suivant les colonnes. Dans la colonne d’indice \(j\), il y a \(11 - j\) valeurs toutes égales à \(j\) en sorte que
\(S=\sum_{j=1}^{10}(11-j)j\)
En appliquant la linéarité de la somme et les formules classiques, on peut facilement calculer \(S\) :
\(\begin{align}S & =\sum_{j=1}^{10}(11-j)j\\ & = 11\sum_{j=1}^{10}j-\sum_{j=1}^{10}j^2\\ & = 11\times 10\times 11/2 - 10\times 11\times 21/6\\ & = 605 - 385\\ & = 220\end{align}\)
Alternative purement formelle¶
Il n’est pas nécessaire de déployer la somme et de faire une lecture en ligne ou en colonne. En effet, une somme double peut toujours se récrire en une somme simple :
\(\begin{align}S & =\sum_{k=1}^{10}\sum_{j=1}^{k}j\\ & = \sum\limits_{\substack{1\leq k\leq 10\\ 1\leq j\leq k }}^{}j\end{align}\)
La dernière somme se fait sur un ensemble de couples. Pour intervertir les symboles, il suffit de parvenir à récrire l’ensemble des couples en faisant varier \(j\) entre deux bornes fixes. Or, on a l’équivalence facile suivante :
\(\left.\begin{matrix} 1\leq k\leq 10\\ 1\leq j\leq k \end{matrix} \right\}\iff\left\{\begin{matrix} 1\leq j\leq 10\\ j\leq k\leq 10 \end{matrix} \right.\)
Par suite, on peut transformer la somme simple en double somme avec échange des indices :
\(\begin{align}S & = \sum\limits_{\substack{1\leq k\leq 10\\ 1\leq j\leq k }}^{}j\\ & = \sum\limits_{\substack{1\leq j\leq 10\\ j\leq k\leq 10 }}^{}j\\ & =\sum_{j=1}^{10}\sum_{k=j}^{10}j\\\end{align}\)
Or, \(\sum\limits_{k=j}^{10}j=(10-j+1)j\) car on somme une quantité constante et donc \(S=\sum\limits_{j=1}^{10}(11-j)j\) et on retrouve le calcul fait visuellement plus haut.