\(\newcommand{\ds}{\displaystyle}\) \(\newcommand{\Frac}{\ds\frac}\) \(\renewcommand{\r}{\mathbb{ R}}\) \(\newcommand{\C}{\mathbb{ C}}\) \(\newcommand{\n}{\mathbb{ N}}\) \(\newcommand{\z}{\mathbb{ Z}}\) \(\newcommand{\Q}{\mathbb{ Q}}\) \(\newcommand{\N}{\mathbb{ N}}\) \(\newcommand{\n}{\mathbb{ N}}\) \(\newcommand{\ol}{\overline}\) \(\newcommand{\abs}[1]{\left| \,{#1} \right|}\) \(\newcommand{\pv}{\;;\;}\) \(\newcommand{\ens}[1]{\left\{ {#1} \right\}}\) \(\newcommand{\mens}[1]{\setminus\left\{ {#1} \right\}}\) \(\newcommand{\Par}[1]{\left({#1}\right)}\)

Vidéo 12 : sommes alternées¶

1. Somme alternée d’entiers consécutifs¶

Soit la suite \((S_n)_{n\geq 1}\) dont voici les 5 premiers termes :

\(S_1=1,\quad S_2=1-2,\quad S_3=1-2+3,\quad S_4=1-2+3-4,\quad S_5=1-2+3-4+5\)

la règle générale étant que, dans l’expression formelle de \(S_n\), on sépare les entiers entre \(1\) et \(n\) par, alternativement, le signe \(-\) et le signe \(+\).

Les trois questions sont indépendantes.

1. Exprimer \(S_n\) à l’aide du symbole sigma.
2. Calculer la valeur de \(S_{2N+1}\) où \(N\) est un entier donné. On pourra utiliser la formule suivante :
\(\sum_{k=1}^N(2k-1)=N^2\)
1. D’une façon générale, montrer que \(S_n=(-1)^{n+1}E\Par{\Frac{n+1}2}\) où \(E\) désigne la partie entière.
1. Donner l’expression formelle de \(S_6\).
2. En examinant les valeurs des 6 premiers termes de la suite \((S_n)_{n\geq 1}\), conjecturer la valeur de \(S_n\) en fonction \(n\) et, en particulier, conjecturer la valeur de \(S_{2021}\).